Ознакомился с сутью вопроса.
Да, про эффект Джанибекова много пишут в инете, все что там написано (т.е. что мне попадалось) чушь полная, объяснения с позиций механики качественно не верные.
Думаю, что есть смысл раскрыть “секрет”, т.к. многим реально это взрывает мозг.
Этот эффект можно объяснить "на пальцах" не отсылая к учебникам.
Про "устойчивость вращения" и волчки тут говорить нецелесообразно. Важно знать про закон сохранения момента импульса и помнить, что в природе не существует идеально симметричных тел.
Т.к. "гайка" не идеально симметрична, то ее момент импульса не совпадает (по направлению) с начальным направлением вращения (отклонение от направления зависит от степени симметричности). Вектор момента импульса можно разложить на две составляющие Lx и Lz, где первая составляющая совпадает с начальным направлением вращения, а вторая (понятно) ей перпендикулярна. В силу закона сохранения момента импульса (при свободном вращении) эти составляющие Lx и Lz также останутся неизменными (как по величине, так и по направлению). За все "фокусы", которые мы видим, отвечает постоянство Lz. Т.к. гайке надо "удержать" Lz, то гайка начинает поварачиваться в своей "плоскости", а она вращается (Lx), что далее вызывает ее заваливание на бок.
Вообще это явление свойственно для всех тел абсолютно, то что мы видим якобы отличную картину для "гайки" Джанибекова определяется I1 и I2 - главными моментами инерции (I1>I2). Приближенно конструкцию гайки примем в форме шахматной ладьи (для упрощения дальнейших выкладок т.к. I1=I3 и Iz не зависит от количества оборотов вокруг оси x), тогда текущее значение Iz = I1cos^2(a)+I2sin^2(a), где а – угол между осью x и осью симметрии (то, что он может отличаться от нуля определяется тем что Lz не равно нулю). Дифференцируя Iz по a получаем dIz/da=sin(2a)*(I2-I1), откуда видно, что момент инерции Iz уменьшается с ростом а. И в силу Lz=Iz*Wz=const приводит к увеличению Wz с ростом а. Т.е. гайка стремится (с ускорением) лечь набок, после чего sin(2a) принимает отрицательное значение, соответственно dIz/da положительно, Wz уменьшается, после кувырка внешне это выглядит как будто гайка замерла в новом устойчивом положении (поворот на 180 град.). (В действительности никакого равновесия нет, т.к. в системе нет потенциальной энергии.) Ну и логично, что после кувырка, направление вращения гайки изменилась на противоположное (этого требует условие Lx=const). Следует отметить, что кувырок гайки занимает определенное время (определяемое из интегрирования da/dt=Wz и граничных условий) t, за которое гайка может совершить несколько оборотов вокруг оси x. Вот и выглядит это внешне как будто гайка вращается себе вращается, а потом бац и взбрыкивает. Далее цикл кувыркания повторяется по той же схеме с конкретным периодом.
P.S. Из анализа выражения dIz/da=sin(2a)*(I2-I1), следует, что если I2>I1 (как например для бублика), то Wz уменьшается (замедляется), т.е. тело “стремится” назад к “устойчивости”, а т.к. Lz никуда не исчезает, то внешне это проявляется в прецессии оси вращения таких тел (кстати у Земли она тоже есть). Еще интереснее когда I1=I2=I3, как у кубика (сфера тоже, но ее не интересно рассматривать), в этом случае все угловые скорости (Wx, Wz) в любой момент времени постоянны, в этом случае кубик вращается себе вокруг оси x и медленно, плавно, без рывков переваливается на другой бочок и это ни у кого не вызывает удивления (именно так в “Трансформерах” летел по космосу энергетический куб, если кто помнит).

http://forum.nsu.ru/viewtopic.php?t=22583